Como calcular o volume de um boné esférico usando o cálculo

A abordagem geral de cálculo no cálculo dos volumes de objetos com superfícies curvas baseia-se na teoria principal da integração. Em essência, o objeto tridimensional é cortado em fatias cada vez menores e se aproxima do volume de cada uma dessas partes usando uma forma mais simples. Para encontrar o volume de uma tampa esférica, a formulação mais simples é imaginar uma pilha de cilindros largos e curtos em cima uns dos outros. O volume é calculado como a altura de cada um desses cilindros para zero, gerando aproximações mais precisas.

Escrevendo a integral

Determine o diâmetro ou o raio da sua tampa esférica na parte mais larga.

Determine a altura da capa esférica.

Faça a raiz quadrada dos números nas Etapas 1 e 2 e adicione-os. Divida este número por duas vezes o número no passo 2. Isso lhe dá R, o raio da esfera da qual a tampa esférica foi cortada.

Escreva "V =", seguido pelo símbolo de integração.

Subtraia o número calculado na Etapa 2 de R e anote esse número na parte inferior do símbolo de integração.

Escreva o valor de R no topo do símbolo de integração.

Escreva pi, seguido por um parêntese, após o símbolo de integração.

Faça a raiz quadrada do valor de R e escreva depois dos parênteses, seguido do sinal de menos.

Escreva "x ^ 2", seguido dos parênteses de fechamento. Apenas escreva a integral com "dx".

Avaliando a integral

Multiplique pi entre parênteses, resultando em pi * x ^ 2 subtraído de uma constante.

Avalie o primeiro termo da integral multiplicando a constante pela altura da capa esférica (na verdade, R - a, os dois extremos da integral) e movendo-a para fora da integral. A equação deve agora estar na forma "V = C (R - a) - [integral definida de a para R] pi * x ^ 2 dx", onde C é a raiz quadrada de R vezes pi, e R é a altura da tampa esférica.

A integral restante é avaliada como 1 / 3_pi_ (R ^ 3), 1 / 3_pi_ (a ^ 3). Assim, a fórmula geral para o volume de uma capa esférica é V = C (R - a), 1 / 3_pi_ (R ^ 3) + 1 / 3_pi_ (a ^ 3), onde C já são como descrito na Etapa. 2 e R é como descrito na Etapa 3 da seção anterior.

Substituindo R menos a altura da capa esférica ("h") para a, avaliando os cubos e simplificando os resultados em V = 1 / 3_pi_h ^ 2 * (3R - h), a fórmula algébrica padrão para o volume de uma tampa esférica.